Aproksimasi
1. Aproksimasi
Semua pengukuran adalah pendekatan. Oleh karena itu hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas, dan sebagainya harus selalu diberikan menurut ketelitian yang diperlukan. Ada tiga cara utama yang akan diberikan dalam bab ini, yaitu dengan pembulatan ke :
1) ukuran satuan yang terdekat yang cocok dengan maksud pengukuran,
2) banyaknya angka-angka desimal yang cocok dengan maksud pengukuran,
3) banyaknya angka-angka yang signifikan (bermakna) yang cocok dengan maksud pengukuran.
1). Pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat
Aturan pembulatan suatu bilangan ialah : kalau angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka nilai angka di depannya ditambah satu, kalau angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Contoh 1 :
14,7 kg = 15 kg (dibulatkan ke kilogram terdekat)
10,13 detik = 10,1 detik (dibulatkan ke detik terdekat)
128,5 m = 129 m (dibulatkan ke meter terdekat)
128,51 m = 129 m (dibulatkan ke meter terdekat)
2). Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal
Bilangan pendekatan dipakai tidak hanya untuk pengukuran-pengukuran, kadang-kadang kita dapat memudahkan pekerjaan dengan membulatkan suatu bilangan desimal sampai ke sekian banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang dikehendaki.
Misalnya :
5,20735 = 5,2074 (dibulatkan sampai empat tempat desimal)
5,20735 = 5,207 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal)
5,20735 = 5,21 (dibulatkan sampai dua tempat desimal)
5,20735 = 5,2 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)
3). Pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
Suatu cara yang mudah untuk menyatakan ketelitian pendekatan ialah dengan banyaknya angka yang dipakai. Kita mengatakan bahwa 67,3 cm mempunyai 3 angka yang signifikan dan 67 mempunyai 2 angka yang signifikan.
Nol adalah angka yang signifikan kecuali bila ini dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal.
Contoh 2 :
2,40 m
Nol di sini menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter yang terdekat, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan.
b. 0,0810 km
Dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan.
Nol yang ketiga menunjukkan bahwa panjang telah diukur sampai ke persepuluhan meter, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan.
2. Membilang, Mengukur dan Salah Mutlak
Dalam persoalan-persoalan yang berikut ini, bilangan yang dimaksud adalah eksak. Ada satu dan hanya satu jawab yang tepat untuk persoalan masing-masing dan ini diperoleh dengan membilang.
Misalnya :
Banyaknya pensil dalam satu lusin.
Banyaknya SD di Kecamatan Singosari.
Banyaknya murid SMKN-1 Singosari.
Bandingkan persoalan itu dengan bilangan yang diperoleh dari pengukuran.
Misalnya :
Tinggi seseorang adalah 168 meter.
Beratnya suatu paket ialah 345 gram.
Volume cairan dalam botol ialah 1 liter.
Bagaimanapun telitinya kita melaksanakan suatu pengukuran, kita tidak akan dapat menyatakan ukuran tepat yang sebenarnya. Meskipun demikian kita dapat membayangkan bahwa suatu ukuran yang demikian itu ada.
Selisih antara ukuran yang sebenarnya dan ukuran yang diperoleh dari pengukuran itu disebut kesalahannya, walaupun saat mengukur kita tidak membuat kesalahan. Secanggih apapun alat yang kita gunakan, pengukuran tidak akan pernah eksak dan karenanya kesalahan tidak mungkin dihilangkan seluruhnya. Karenanya kita perlu mengetahui pada setiap keadaan sampai dimana kita dapat mempercayai pengukuran kita, yaitu kita harus mengetahui kesalahan maksimum yang dapat diterima.
Misalkan kita mengukur suatu panjang kawat menggunakan penggaris yang ditera dalam sentimeter (ukuran terkecil satu sentimeter), maka kita dapat mengatakan panjangnya 5 cm (hal ini tidak mungkin tepat 5 cm). Kita katakan pengukuran ini tepat sampai 1 angka signifikan, atau tepat sampai sentimeter terdekat, dan kita mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran ialah 1 cm.
Jadi panjang sebenarnya ialah lebih dekat ke 5 cm dari pada ke 4 cm atau 6 cm, yaitu panjangnya terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm dan kesalahannya sebesar-besarnya 0,5 cm. Kesalahan inilah yang disebut salah mutlak. Hal ini dapat dijelaskan dengan gambar sebagai berikut :
5,5 cm Batas atas pengukuran
5 cm Pengukuran sampai cm terdekat
4,5 cm Batas bawah pengukuran
0,5 0,5 cm = salah mutlak
Sehingga dapat dikatakan bahwa salah mutlak dari pengukuran panjang kawat 5 cm adalah 0,5 cm. Dengan demikian dapat disimpulkan :
Salah mutlak (SM) = x satuan ukuran terkecil (SUT)
Contoh 3 : Massa sebesar 15,8 kg
satuan pengukuran terkecil = 0,1 kg
salah mutlak = dari 0,1 kg = 0,05 kg
batas atas massa = 15,85 kg
batas bawah massa = 15,75 kg
Contoh 4 : Volume sebesar 2,24 liter
- Satuan ukuran terkecil = ………
- Salah mutlak = ………
- Batas atas massa = ………
- Batas bawah massa = ………
3. Salah Relatif dan Prosentase Kesalahan
Kita telah melihat bahwa tidak ada pengukuran yang eksak dan bahwa besarnya kesalahan-kesalahan bergantung dari alat pengukuran yang digunakan. Hal ini dapat dipahami dari kasus berikut ini.
Dalam membuat garis pinggir lapangan sepak bola, kesalahan pengukuran sebesar 1 cm atau 1 dm adalah relatif tidak penting, tetapi kesalahan 1 cm saja yang diperbuat oleh tukang mebel akan menggagalkan pekerjaannya.
Jadi kita perlu memandang kesalahan yang dibandingkan terhadap pengukuran itu sendiri. Karena itu kita menghitung salah relatif (nisbi) yang ditentukan sebagai berikut :
Salah Relatif =
Misalnya jika panjang garis diukur dengan hasil 2,5 cm (sampai 0,1 cm terdekat) maka salah mutlaknya ialah 0,05 cm.
Sehingga salah relatif = . Jika kesalahan tersebut dinyatakan dalam prosentase, kita dapat mengalikan dengan 100% (yaitu dengan 1), sehingga Prosentase Kesalahannya = .
Contoh 5 :
Berapakah prosentase kesalahannya, jika suatu massa dinyatakan sebagai 1,50 kg.
Jawab :
satuan pengukuran terkecil = 0,01 kg
salah mutlaknya = 0,005 kg
salah relatifnya =
prosentase kesalahannya =
4. Toleransi
Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima.
Misalnya baut-baut dibuat dengan mesin dan diharuskan berdiameter 8 mm, spesifikasinya mungkin memperbolehkan diameter antara 7,8 mm dan 8,2 mm. Selisih antara batas-batas ini, yaitu 0,4 mm disebut toleransi dalam pengukuran dan dalam hal ini dapat diberikan oleh pernyataan (8 ± 0,2)mm.
Contoh 6 :
Untuk massa (15 ± 0,5) gram
massa terbesar yang dapat diterima ialah 15,5 gram
massa terkecil yang dapat diterima ialah 14,5 gram
toleransinya ialah 1 gram.
1. Aproksimasi
Semua pengukuran adalah pendekatan. Oleh karena itu hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas, dan sebagainya harus selalu diberikan menurut ketelitian yang diperlukan. Ada tiga cara utama yang akan diberikan dalam bab ini, yaitu dengan pembulatan ke :
1) ukuran satuan yang terdekat yang cocok dengan maksud pengukuran,
2) banyaknya angka-angka desimal yang cocok dengan maksud pengukuran,
3) banyaknya angka-angka yang signifikan (bermakna) yang cocok dengan maksud pengukuran.
1). Pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat
Aturan pembulatan suatu bilangan ialah : kalau angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka nilai angka di depannya ditambah satu, kalau angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap.
Contoh 1 :
14,7 kg = 15 kg (dibulatkan ke kilogram terdekat)
10,13 detik = 10,1 detik (dibulatkan ke detik terdekat)
128,5 m = 129 m (dibulatkan ke meter terdekat)
128,51 m = 129 m (dibulatkan ke meter terdekat)
2). Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal
Bilangan pendekatan dipakai tidak hanya untuk pengukuran-pengukuran, kadang-kadang kita dapat memudahkan pekerjaan dengan membulatkan suatu bilangan desimal sampai ke sekian banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang dikehendaki.
Misalnya :
5,20735 = 5,2074 (dibulatkan sampai empat tempat desimal)
5,20735 = 5,207 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal)
5,20735 = 5,21 (dibulatkan sampai dua tempat desimal)
5,20735 = 5,2 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)
3). Pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
Suatu cara yang mudah untuk menyatakan ketelitian pendekatan ialah dengan banyaknya angka yang dipakai. Kita mengatakan bahwa 67,3 cm mempunyai 3 angka yang signifikan dan 67 mempunyai 2 angka yang signifikan.
Nol adalah angka yang signifikan kecuali bila ini dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal.
Contoh 2 :
2,40 m
Nol di sini menyatakan bahwa panjang telah diukur sampai ke perseratusan meter yang terdekat, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan.
b. 0,0810 km
Dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan.
Nol yang ketiga menunjukkan bahwa panjang telah diukur sampai ke persepuluhan meter, jadi signifikan. Di sini ada 3 angka signifikan.
2. Membilang, Mengukur dan Salah Mutlak
Dalam persoalan-persoalan yang berikut ini, bilangan yang dimaksud adalah eksak. Ada satu dan hanya satu jawab yang tepat untuk persoalan masing-masing dan ini diperoleh dengan membilang.
Misalnya :
Banyaknya pensil dalam satu lusin.
Banyaknya SD di Kecamatan Singosari.
Banyaknya murid SMKN-1 Singosari.
Bandingkan persoalan itu dengan bilangan yang diperoleh dari pengukuran.
Misalnya :
Tinggi seseorang adalah 168 meter.
Beratnya suatu paket ialah 345 gram.
Volume cairan dalam botol ialah 1 liter.
Bagaimanapun telitinya kita melaksanakan suatu pengukuran, kita tidak akan dapat menyatakan ukuran tepat yang sebenarnya. Meskipun demikian kita dapat membayangkan bahwa suatu ukuran yang demikian itu ada.
Selisih antara ukuran yang sebenarnya dan ukuran yang diperoleh dari pengukuran itu disebut kesalahannya, walaupun saat mengukur kita tidak membuat kesalahan. Secanggih apapun alat yang kita gunakan, pengukuran tidak akan pernah eksak dan karenanya kesalahan tidak mungkin dihilangkan seluruhnya. Karenanya kita perlu mengetahui pada setiap keadaan sampai dimana kita dapat mempercayai pengukuran kita, yaitu kita harus mengetahui kesalahan maksimum yang dapat diterima.
Misalkan kita mengukur suatu panjang kawat menggunakan penggaris yang ditera dalam sentimeter (ukuran terkecil satu sentimeter), maka kita dapat mengatakan panjangnya 5 cm (hal ini tidak mungkin tepat 5 cm). Kita katakan pengukuran ini tepat sampai 1 angka signifikan, atau tepat sampai sentimeter terdekat, dan kita mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran ialah 1 cm.
Jadi panjang sebenarnya ialah lebih dekat ke 5 cm dari pada ke 4 cm atau 6 cm, yaitu panjangnya terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm dan kesalahannya sebesar-besarnya 0,5 cm. Kesalahan inilah yang disebut salah mutlak. Hal ini dapat dijelaskan dengan gambar sebagai berikut :
5,5 cm Batas atas pengukuran
5 cm Pengukuran sampai cm terdekat
4,5 cm Batas bawah pengukuran
0,5 0,5 cm = salah mutlak
Sehingga dapat dikatakan bahwa salah mutlak dari pengukuran panjang kawat 5 cm adalah 0,5 cm. Dengan demikian dapat disimpulkan :
Salah mutlak (SM) = x satuan ukuran terkecil (SUT)
Contoh 3 : Massa sebesar 15,8 kg
satuan pengukuran terkecil = 0,1 kg
salah mutlak = dari 0,1 kg = 0,05 kg
batas atas massa = 15,85 kg
batas bawah massa = 15,75 kg
Contoh 4 : Volume sebesar 2,24 liter
- Satuan ukuran terkecil = ………
- Salah mutlak = ………
- Batas atas massa = ………
- Batas bawah massa = ………
3. Salah Relatif dan Prosentase Kesalahan
Kita telah melihat bahwa tidak ada pengukuran yang eksak dan bahwa besarnya kesalahan-kesalahan bergantung dari alat pengukuran yang digunakan. Hal ini dapat dipahami dari kasus berikut ini.
Dalam membuat garis pinggir lapangan sepak bola, kesalahan pengukuran sebesar 1 cm atau 1 dm adalah relatif tidak penting, tetapi kesalahan 1 cm saja yang diperbuat oleh tukang mebel akan menggagalkan pekerjaannya.
Jadi kita perlu memandang kesalahan yang dibandingkan terhadap pengukuran itu sendiri. Karena itu kita menghitung salah relatif (nisbi) yang ditentukan sebagai berikut :
Salah Relatif =
Misalnya jika panjang garis diukur dengan hasil 2,5 cm (sampai 0,1 cm terdekat) maka salah mutlaknya ialah 0,05 cm.
Sehingga salah relatif = . Jika kesalahan tersebut dinyatakan dalam prosentase, kita dapat mengalikan dengan 100% (yaitu dengan 1), sehingga Prosentase Kesalahannya = .
Contoh 5 :
Berapakah prosentase kesalahannya, jika suatu massa dinyatakan sebagai 1,50 kg.
Jawab :
satuan pengukuran terkecil = 0,01 kg
salah mutlaknya = 0,005 kg
salah relatifnya =
prosentase kesalahannya =
4. Toleransi
Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil yang dapat diterima.
Misalnya baut-baut dibuat dengan mesin dan diharuskan berdiameter 8 mm, spesifikasinya mungkin memperbolehkan diameter antara 7,8 mm dan 8,2 mm. Selisih antara batas-batas ini, yaitu 0,4 mm disebut toleransi dalam pengukuran dan dalam hal ini dapat diberikan oleh pernyataan (8 ± 0,2)mm.
Contoh 6 :
Untuk massa (15 ± 0,5) gram
massa terbesar yang dapat diterima ialah 15,5 gram
massa terkecil yang dapat diterima ialah 14,5 gram
toleransinya ialah 1 gram.
0 komentar:
Posting Komentar