Jumat, 17 Februari 2012

BARISAN

10.58  Nerazurri  No comments

PENGERTIAN BARISAN
DEFINISI BARISAN
Barisan bilangan real ( barisan di R ) adalah fungsi pada himpunan bilangan asli ( N ) yang jangkauannya termuat pada R.
Dalam kaitan barisan sebagai fungsi, dalam pengertian sebelumnya dapat ditulis barisan adalah fungsi f: N ® R.
Namun karena kekhususan barisan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli ( N ), dengan sifat N yang terhitung (countable) perlu disepakati hal-hal sebagai berikut.

  1. Untuk mengantisipasi kekhususan ini biasanya fungsi-fungsi ini dinyatakan dengan notasi huruf besar X, Y, Z dan seterusnya.
  2. Kemudian berkenaan dengan nilai-nilai fungsi dalam barisan maksimal hanyalah terhitung, karena daerah asalnya adalah N, sehingga range dari fungsi yang berupa barisan dapat dapat ditulis sebagai {a1, a2,…,an,…} atau {x1, x2,…,xn,…} atau {y1, y2,…,yn,…}. Juga dengan kekhususan ini seringkali yang ditonjolkan adalah nilai fungsinya bukan fungsinya (baca aturannya), sehingga seringkali yang ditulis adalah nilai fungsinya.
  3. Untuk membedakan antara himpunan dan barisan maka himpunan yang menyatakan nilai fungsi dari suatu barisan tidak ditulis dalam notasi himpunan (anggota dibatasi kurung kurawal tetapi kurung biasa), karena dalam himpunan nilai fungsi yang sama tetap harus ditulis tidak seperti pada himpunan yang mana unsure yang sama hanya ditulis sekali. Akibatnya dalam penulisan bias seperti berikut. Barisan X dengan nilai fungsi yang berturut-turut bersesuaian dengan bilangan asli 1,2,3,…,n,… ditulis sebagai X=(x1,x2, x3,…,xn,…).
Sehingga jika X:N®R, suatu barisan penulisan selanjutnya seringkali sebagai barisan (xn) atau ( xn : nÎN), walaupun penulisan X sebagai barisan juga digunakan.
Secara umum penulisan rumus/aturan barisan ada dua macam
  • Pertama nilai fungsi ( suku ) berdasarkan letak barisan berdasarkan sukunya, misal X=( 2n ) , Y=.
  • Kedua yaitu barisan yang nilainya tidak bergantung pada suku ke-n nya tetapi ditentukan pada suku sebelumnya. Contohnya barisan fibonacci (1,1,2,3,5,8,…), juga barisan yang didefinisikan sebagai berikut : Misal barisan X adalah barisan dengan x1=3, xn+1= xn+ 2.( barisan rekursif)
Masalah menarik dalam bahasan barisan adalah kemanakah barisan itu suku-sukunya menuju? Dalam analisis masalah ini disebut masalah limit barisan.
DEFINISI LIMIT BARISAN
Misalkan X=(xn) suatu barisan. Bilangan real x disebut limit barisan X=(xn), jika untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn berada pada lingkungan- e dari x ( Ve(x)).
Selanjutnya jika barisan X memenuhi definisi di atas, dikatakan X=(xn) konvergen ke x atau limX=x atau lim (xn) = x atau xn ®x.
Dari definisi barisan dapat diperoleh hasil bahwa jika ada, LIMIT BARISAN adalah UNIK.
Dan TIDAK SEMUA BARISAN PUNYA LIMIT.

Definisi barisan di atas hanyalah untuk menguji apakah suatu titik merupakan limit barisan atau bukan. Sehingga dengan mengambil pernyataan kontraposisi dari definisi diperoleh, Bilangan t bukan limit dari barisan X=(xn) jika terdapat bilangan positif tertentu d sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan asli K, terdapat bilangan asli m> K, sedemikian sehingga | xm – t | ³ d.
Teorema ( untuk memudahkan mengidentifikasi suatu bilangan merupakan limit barisan atau bukan )
MISAL X=(xn) barisan, dan x bilangan real. PBE :
(a) X konvergen ke x
(b) Untuk setiap lingkungan- e dari x ( Ve(x)), terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn berada pada lingkungan- e dari x ( Ve(x)).
(c) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn memenuhi |xn-x| <e.
(d) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn memenuhi x-e< xn<x|+e.
Dengan teorema ini dapat dijelaskan mengapa:
, , , juga dengan menentukan negasi dari teorema ini dapat digunakan untuk menjelaskan bahwa barisan ( 0,9,0,9,0,…) tidak konvergen ke 0, atau 9 atau bahkan ke suatu bilangan real manapun.
Untuk mengidentifikasi limit barisan selain menggunakan definisi dapat dilakukan dengan mendefinisikan EKOR DARI SUATU BARISAN.
DEFINISI
X=(xn) = ( x1, x2, …) barisan dan m suatu bilangan asli, ekor-m dari X adalah barisan yang ditulis sebagai
Xm= (xm+n : nÎN)
Teorema (yang mengaitkan kekonvergenan barisan dan ekornya)
Suatu barisan konvergen jika dan hanya jika ekor barisannya konvergen.
Ini berguna salah satunya untuk menguji kekonvergenan barisan X=( 3,5,6,7,1,45,67, ½ , 1/3 , ¼, 1/5 , 1/6 ,… )
Teorema ( menguji konvergensi barisan dengan dominasi barisan yang menuju 0 mulai suku tertentu)
Misal A= (an) dan X=(xn) barisan, dan x bilangan real . Jika C>0 dan untuk suatu bilangan asli m, dipenuhi |xn – x|£C|an| untuk setiap bilangan asli n yang lebih besar atau sama dengan m, dan lim(an)= 0, maka lim(xn)=x.
Ini berguna untuk menyelidiki kekonvergenan barisan Y= atau barisan Y=.
Juga untuk menunjukkan bahwa lim(bn)=0, untuk 0<b<1, juga lim=1, untuk c>0.
BEBERAPA TEOREMA TENTANG LIMIT
Definisi barisan terbatas
Barisan X=(xn) disebut terbatas jika terdapat bilangan real M>0, sehingga |xn|£M untuk setiap nÎN

Teorema

Barisan konvergen adalah terbatas.
Sedangkan barisan terbatas belum tentu konvergen.
Teorema
Jika X=(xn) dan Y=(yn) barisan bilangan real yang konvergen ke x dan y, c ÎR dan Z=(zn) suatu barisan yang semua sukunya tak nol yang konvergen ke z , maka limX+Y= x+y, lim XY=xy, limX-Y= x-y, limcX= cx , dan limX/Z= x/z.

Teorema

Limit barisan non negatif adalah non negatif.
Teorema
Jika dua barisan X=(xn) dan Y=(yn) masing-masing konvergen dan xn £ yn untuk setiap bilangan asli n, maka limit (X)£ lim(Y).
Teorema
Jika X=(xn) barisan konvergen dengan a£xn£b, untuk setiap bilangan asli n, maka a£lim(xn)£b

Teorema

Jika X=(xn) dan Y=(yn) Z=(zn) barisan bilangan real dengan xn £ yn £zn untuk setiap bilangn asli n, dan lim(xn)=lim(yn), maka Y konvergen dan lim(xn)=lim(yn)=lim (zn)
Dari teorema-teorema tersebut dapat dikaji kekonvergenan barisan-barisan berikut.
  1. Barisan (n) adalah divergen
  2. Barisan ((-1)n) divergen
  3. lim=2 d. lim=2
e. lim=0 f. lim=0
Teorema
Misalkan barisan X=(xn) konvergen ke x, maka barisan (|xn|) konvergen ke |x|.
Teorema
Misalkan barisan X=(xn) konvergen ke x dan xn ³ 0, maka barisan () konvergen ke .
Teorema Limit Hasil Bagi Suku-suku Barisan
Misalkan barisan X=(xn) bernilai positif pada tiap sukunya dan ada. Jika L < 1, maka barisan (xn) konvergen ke 0.
Soal section 3.2
  1. Selidiki kekonvergenan barisan berikut.
(a) xn =(b) xn = (c) xn =(d) xn =
  1. Beri contoh dua barisan divergen yang jumlahnya konvergen.
  2. Beri contoh dua barisan divergen yang hasilkalinya konvergen.
  3. Tunjukkan bahwa jumlah dua barisan konvergen selalu konvergen.
  4. Jika barisan X konvergen ke suatu bilangan yang tidak nol, hasilkalinya dengan barisan Y, konvergen, maka barisan Y konvergen.
  5. Tentukan limit barisan berikut.
(a) xn= (b)xn= (c)xn=(d)xn =
7. Dari barisan yn= untuk nÎN, tunjukkan bahwa
barisan (yn) dan (yn) konvergen.
  1. Jika 0<a<1, dan b>1, selidiki kekonvergenan barisan
(a) xn=(an) (b) xn= (c) xn= (d) xn=
  1. 9. Misalkan barisan X=(xn) bernilai positif pada tiap sukunya dan > 1, maka barisan (xn) merupakan barisan divergen. Bagaimana jika L=1 ?
  2. Jika 0<a<1, dan b>1, selidiki kekonvergenan barisan
(a) xn=(n2an) (b) xn= (c) xn= (d) xn=

BARISAN MONOTON

Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan dapat juga dikaitkan dengan sifat kemonotonan barisan tersebut. Berikut ini bebrapa hasil hubungan antara kemonotonan barisan dengan karakteristik kekonvergenannya.
Definisi
Suatu barisan X=(xn) disebut barisan naik jika memenuhi x1 £ x2 £ …£xn £ …, sedangkan disebut barisan turun jika memenuhi x1 ³ x2 ³ …³ xn ³…. Kemudian suatu barisan disebut monoton jika barisan tersebut naik atau turun saja.
Teorema Konvergensi Monoton
Barisan bilangan real monoton merupakan barisan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas.Selanjutnya
(a) Jika x=(xn) merupakan barisan naik yang terbatas , maka lim(xn) = sup{xn}.
(b)Jika Y=(yn) merupakan barisan turun dan terbatas, maka lim(yn) = inf{yn}.
Beberapa keguanaan teorema tersebut adalah sbb.
SUBBARISAN
Setelah ditinjau tentang hubungan kekonvergenan suatu barisan dengan sifat kemonotonannya, salah satu karakteristik barisan yang dapat dipakai untuk meninjau kekonvergenannya adalah dengan melihat karakteristik subbarisannya. Berikut ini definisi dan teorema tentang hal tersebut.
Definisi subbarisan
Misalkan X=(xn) suatu barisan dan r1 < r2 < …< rn < … barisan bilangan asli yang naik murni. Suatu barisan X’ yang didefinisikan sebagai disebut sebagi subbarisan dari barisan X.
Kaitan kekonvergenan dari barisan dan subbarisannya dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema
Misalkan barisan bilangan real X=(xn) konvergen ke bilangan real x, maka setiap subbarisan dari X juga konvergen ke x.
Kemudian untuk menyatakan ketidak konvergenan suatu barisan dapat dipergunakan kriteia kedivergenan barisan yang mengkaitkannya dengan subbarisannya, seperti dalam teorema berikut.
Teorema Kriteria Divergensi Barisan
Misalkan X=(xn) suatu barisan bilangan real. Pernyataan berikut ekivalen.
(1)Barisan X=(xn) tidak konvergen pada bilangan real x.
(2)Terdapat suatu e > 0 sedemikian sehingga untuk setiap kÎ N, terdapat mÎ N sedemikian sehingga m³ K dan | xm – x | ³ e.
(3)Terdapat suatu e < 0, dan subbarisan X’ = dari X sedemikian sehingga berlaku
, untuk setiap nÎN.
Untuk mengkaitkan subbarisan, kemonotonan barisan dan kekonvergenan suatu barisan, berikut teorema tentang jaminan adanya subbarisan yang monoton. Yang pertama walaupu barisannya tidak terbatas tetap mempunyai subbarisan yang terbatas, ini penting karena dengan adanya sifat terbatas ada kemungkinan barisannya konvergen.
Teorema Subbarisan yang Monoton
Misalkan X=(xn) suatu barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari X yang terbatas.
Berdasarkan teorema ini diperoleh jaminan adanya subbarisan yang konvergen, walaupun mungkin barisan tersebut tidak konvergen.
Teorema Bolzano-Weierstrass
Barisan bilangan real yang terbatas selalu mempunyai subbarisan yang konvergen.
Melengkapi teorema hubungan antara barisan dan subbarisannya dalam kaitan dengan kekonvergenannya yang telah diungkap di depan, diperoleh teorema berikut.
Teorema
Misalkan X barisan bilangan real yang terbatas dan misalkan xÎ R, serta memenuhi kondisi untuk setiap subbarisan dari barisan X konvergen ke x, maka barisan X konvergen ke x.
Dari teorema ini, dengan kata lain bahwa kekonvergenan suatu barisan dapat diperoleh dari kekonvergenan subbarisannya asalkan memenuhi kondisi setiap subbarisan dari barisan X konvergen ke suatu bilangan tertentu yang sama.

KRITERIA CAUCHY

Dalam membahas kekonvergenan barisan, terdapat satu jenis barisan yang dapat membantu dalam penentuan kekonvergenan suatu barisan. Barisan ini seringkali disebut sebagai barisan Cauchy. Berikut definisi serta karakteristik barisan Cauchy dan juga kaitannya dengan kekonvergenan barisan.
Definisi Barisan Cauchy
Suatu barisan bilangan real X=(xn) disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli H, sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n,m ³H , maka berlaku | xn – xm| < e.
Teorema
Jika X=(xn) suatu barisan bilangan real yang konvergen, maka barisan X merupakan barisan Cauchy.
Teorema
Setiap barisan Cauchy merupakan barisan yang terbatas.
Kriteria Kekonvergenan Cauchy
Barisan bilangan real X konvergen jika dan hanya jika barisan X merupakan barisan Cauchy.
Satu jenis barisan lagi yang berkaitan erat dengan kekonvergenan adalah barisan Kontraktif. Berikut definisi dan teorema yang berkaitan dengan karakteristik kekonvergenan barisan.
Definisi Barisan Kontraktif
Barisan bilangan real X=(xn) disebut barisan kontraktif, jika terdapat kontanta C, dengan 0 < C < 1, sedemikian sehingga | xn+2 – xn+1 | £ C| xn+1 – xn| untuk setiap bilangan asli n. Dan bilangan C disebut konstanta dari barisan kontraktif.
Teorema
Setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, sehingga merupakan barisan konvergen.
Teorema
Misalkan barisan X=(xn) merupakan barisan kontraktif dengan konstanta C, 0< C < 1, dan x = lim X, maka :
(a)
(b)
BARISAN DIVERGEN SEJATI
Sebelum ini, berdasarkan definisi kekonvergenan barisan, suatu barisan dikatakan konvergen jika barisan tersebut “menuju” ke suatu bilangan real tertentu. Sehingga barisan (xn) = ( n) dikatakan tidak konvergen, walaupun secara intuisi menuju ke sesuatu bilangan yang besar. Di pihak lain dari karakteristik barisan divergen pada hakekatnya bisa digolongkan menjadi dua kategori yaitu karena fakta barisan tersebut “menuju” ke suatu “bilangan yang besar” atau karena punya dua subbarisan yang “menuju” pada dua arah ( titik ) yang berbeda. Untuk itulah perlu dibahas ketidakkonvergenan jenis pertama yang disebut Barisan Divergen Sejati .
Berikut ini definisi dan teoremanya.
Definisi
Misalkan (xn) barisan bilangan real.
(a) Barisan (xn) disebut menuju ke +¥, dan ditulis lim(xn)= + ¥, jika untuk setiap a di R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga jika n ³ K, berlaku xn > a
(b)Barisan (xn) disebut menuju ke -¥, dan ditulis lim(xn)= – ¥, jika untuk setiap bÎ R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk n ³ K, berlaku xn < b.
Selanjutnya suatu barisan (xn) disebut divergen sejati jika lim(xn)= +¥, atau lim(xn)= – ¥.
Teorema
Suatu barisan bilangan real yang monoton merupakan barisan divergen sejati jika dan hanya jika tidak terbatas.
(a) Jika barisan (xn) merupakan barisan naik tak terbatas, maka lim(xn)= +¥,
(b)Jika barisan (xn) merupakan barisan turun tak terbatas, maka lim(xn)= -¥.
Teorema
Misalkan (xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real dan memenuhi sifat xn £ yn untuk setiap bilangan asli n.
(a) Jika lim(xn)= +¥, maka lim(yn)= +¥.
(b)Jika lim(yn)= -¥, maka lim(xn)= -¥.
Teorema
Misalkan (xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real dan untuk suatu bilangan real L, L > 0 memenuhi sifat . Maka lim(xn)= +¥, jika dan hanya jika lim(yn)= +¥.
Contoh-contoh topik barisan monoton
  1. Misalkan barisan Y=(yn) didefinisikan secara induktif sbb, y1=1, yn+1= untuk n³1. Akan ditunjukkan bahwa limit barisan ini adalah 3/2.
Dari beberapa suku dapat ditunjukkan bahwa nilai suku-suku yang lebih besar, selalu lebih besar dibanding suku sebelumnya. Untuk itu ada kemungkinan kekonvergenannya dapat ditunjukkan melalui sifat barisan yang monoton ( turun/naik) dan terbatas (di bawah/di atas).

Posted in:

0 komentar:

Posting Komentar