Jumat, 17 Februari 2012

Bilangan Rasional

11.21  Nerazurri  

 Definisi Bilangan Rasional
Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b}.

Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja.
Contoh:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan \frac{2}{3}. Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
3. Pecahan \frac{35}{42}. Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional juga.

Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi \frac{98787768638}{100000000000}.

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525.... _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525...
99A = 25
A = \frac{25}{99}.
Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan \frac{a}{b} di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.

Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111...
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...
900 A = 109
A = \frac{109}{900}.
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.

Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?
Jawab:
Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional.

Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?
Jawab:
Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah.

Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan \frac{a}{b} paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123....
Jawab:
0,\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}...
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah \frac{123}{\underbrace{999}_{3}}.
Setelah disederhanakan maka menjadi \frac{41}{333}.

2. Jika \frac{a}{b} adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517....
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:\frac{142857}{\underbrace{999999}_{6}}\times\left(\frac{1}{10}\right).
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

Posted in: