Bilangan kompleks

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

$a + bi \,$

dimana dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Definisi

Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau $\mathbb{C}$ . Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:

a = a + 0 i

.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i ² = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.
Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

Definisi

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$

$( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ). \,$

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut:

identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b): $\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right).$

Notasi

Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

a + b i

Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

$r = \sqrt {a^2 + b^2}$

dan

$\theta = \arctan(\frac{b}{a})$

maka

a + b i = r (cos θ + i sin θ)

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk

r (cos θ + i sin θ)

juga sering ditulis sebagai $r \, cis \theta$ .

Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

r e i θ = r (cos θ + i sin θ)

Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan φ = arg(z), yang disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

$z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi}. \,$

Kadang-kadang, notasi r cis φ dapat juga ditemui.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

$r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2} = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,$

dan

$\frac{r_1 e^{i\phi_1}} {r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)}. \,$

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.
Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (

π / 2

radian). Secara geometris, persamaan i² = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (

π

radian).

Posted in:

Jumat, 17 Februari 2012